20230912 Preliminaries

1. 复习

$$R,\ C,\ R^{m\times n},\ C^{m\times n}$$

• R: real numbers
• C: complex numbers

$$R^n=R^{n\times 1},\ R_n=R^{1\times n}$$

• 方阵：Square matrix - Wikipedia
• 三角矩阵，特征根，特征向量
• 分块矩阵：分块矩阵 - 维基百科，自由的百科全书
• Hamilton-Carley定理：方阵的特征多项式为何总能将该方阵零化 - 知乎

2023.10.19

• 矩阵指数 - 维基百科，自由的百科全书

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• 二阶矩阵逆矩阵的公式是哪个_百度知道

给定的矩阵 ( A = \begin{pmatrix} 1 & -i \ i & 1 \end{pmatrix} ) 和两个特征根（特征值）2 和 0，我们将按照以下步骤计算对应的特征向量。

对于特征值 2

1. 构造特征方程：( (A - 2I)x = 0 )。

   这里 ( I ) 是单位矩阵，所以 ( 2I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} )。

   因此，( A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & -i \ i & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -i \ i & -1 \end{pmatrix} )。

2. 解线性方程组 ( \begin{pmatrix} -1 & -i \ i & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} )。

对于特征值 0

1. 构造特征方程：( (A - 0I)x = 0 )。

   这里 ( 0I = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} )。

   因此，( A - 0I = \begin{pmatrix} 1 & -i \ i & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -i \ i & 1 \end{pmatrix} )。

2. 解线性方程组 ( \begin{pmatrix} 1 & -i \ i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} )。

现在，我将进行这些计算。