跳到主要内容

Matrix Theory - hw2

1. 求下列矩阵的满秩分解​

(111113211−3012265433−1)\begin{align*} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ 3&2&1&1&-3\\ 0&1&2&2&6\\ 5&4&3&3&-1 \end{pmatrix} \end{align*}

解：

给定矩阵：

A=(111113211−3012265433−1)A = \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ 3&2&1&1&-3\\ 0&1&2&2&6\\ 5&4&3&3&-1 \end{pmatrix}

我们将使用高斯消元法进行满秩分解。以下是具体步骤：

  1. 第一步，将第二行减去 3 倍的第一行，将第四行减去 5 倍的第一行：
(111110−1−2−2−6012260−1−2−2−6)\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ 0&-1&-2&-2&-6\\ 0&1&2&2&6\\ 0&-1&-2&-2&-6 \end{pmatrix}
  1. 第二步，将第三行加上第二行，将第四行加上第二行：
(111110−1−2−2−60000000000)\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ 0&-1&-2&-2&-6\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}
  1. 第三步，将第一行加上第二行，将第二行乘以 −1-1，化为行最简形矩阵：
(10−1−1−5012260000000000)\begin{pmatrix} 1&0&-1&-1&-5\\ 0&1&2&2&6\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}

现在，我们可以看到矩阵的第三行和第四行全为零。这意味着矩阵的秩为 2。注意到第一行和第二行是非零行，因此我们可以选择它们作为矩阵的满秩分解。则有：

A=RU=(11320154)(10−1−1−501226)A = RU = \begin{pmatrix} 1&1\\ 3&2\\ 0&1\\ 5&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&-1&-1&-5\\ 0&1&2&2&6 \end{pmatrix}

2. 证明：设 nn 元列向量 X≠0X\not=0，A=In−2XXH∥X∥2A=I_n-\frac{2XX^H}{\Vert X \Vert ^2}，则 AHA=In=A2A^HA=I_n=A^2.​

要证明 AHA=InA^HA = I_n，我们首先计算 AHA^H，其中 (⋅)H(\cdot)^H 表示矩阵的共轭转置。由于 A=In−2XXH∥X∥2A = I_n - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2}，我们有：

AH=(In−2XXH∥X∥2)HA^H = \left( I_n - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2} \right)^H

由于 InI_n 是对称矩阵，而 (⋅)H(\cdot)^H 表示共轭转置，我们可以将其应用到每个矩阵项上：

AH=InH−2(XXH)H∥X∥2A^H = I_n^H - \frac{2(XX^H)^H}{\Vert X\Vert ^2}

由于 InH=InI_n^H = I_n 和 (XXH)H=(XH)HXH=XXH(XX^H)^H = (X^H)^HX^H = XX^H，我们可以化简上述表达式为：

AH=In−2XXH∥X∥2=AA^H = I_n - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2}=A

即 AHA=A2A^HA=A^2 成立。

现在，我们可以计算 AHAA^HA：

AHA=(In−2XXH∥X∥2)(In−2XXH∥X∥2)A^HA = \left( I_n - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2} \right) \left( I_n - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2} \right)

展开上述表达式并进行简化：

AHA=InIn−In2XXH∥X∥2−2XXH∥X∥2In+4(XXH)(XXH)∥X∥4A^HA = I_nI_n - I_n\frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2} - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2}I_n + \frac{4(XX^H)(XX^H)}{\Vert X\Vert ^4}

由于 InI_n 是单位矩阵，且矩阵乘法满足结合律和分配律，我们可以进一步简化上述表达式：

AHA=In−2XXH∥X∥2−2XXH∥X∥2+4(XXH)(XXH)∥X∥4=In−4XXH∥X∥2+4X(XHX)XH∥X∥4=In−4XXH∥X∥2+4∥X∥2XXH∥X∥4=In−4XXH∥X∥2+4XXH∥X∥2=In\begin{align*} A^HA &= I_n - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2} - \frac{2XX^H}{\Vert X\Vert ^2} + \frac{4(XX^H)(XX^H)}{\Vert X\Vert ^4}\\ &= I_n - \frac{4XX^H}{\Vert X\Vert ^2} + \frac{4X(X^HX)X^H}{\Vert X\Vert ^4}\\ &= I_n - \frac{4XX^H}{\Vert X\Vert ^2} + \frac{4\Vert X\Vert ^2XX^H}{\Vert X\Vert ^4}\\ &= I_n - \frac{4XX^H}{\Vert X\Vert ^2} + \frac{4XX^H}{\Vert X\Vert ^2}\\ &= I_n \end{align*}

因此，我们证明了 AHA=A2=InA^HA = A^2 = I_n。